山径文学社作品（夕阳浅唱）
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两个新的不等式
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向本清
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我发现了如下的三角不等式：在中
A ① ②
其中，求和关于A，B，C轮换，R,r,分别是的外接圆，内切圆的半径，s是的半周长，
不等式‚中要求是锐角三角形，当且仅当是正三角形时等号成立。
证明：由三角恒等式A=1+ 〔1〕，故不等式等价于不等式
1+ ③
易见，对于满足>0的一切正数s函数
Y=是s的增函数，再用J。C。Gerretsen1953年建立的不等式6Rr-5〔2〕,
要证明不等式③，只要证明不等式
≥ ④
而不等式④等价于36-92r+45-12R+4≥0
等价于 4(9R-5r)(R-2r)+ ⑤
而由Euler不等式R2r知不等式⑤成立，故不等式①得证。
由三角恒等式
= 〖1〗
知,不等式②等价于不等式
等价于 (2R-r)(4R+r) ⑥
当2R时，用C。Ciamberlini在1943年提出的锐角三角形中的不等式s>2R+r〔3〕
要证明不等式⑥，此时只要证明不等式
(2R-r)(4R+r) ⑦
而不等式 ⑦等价 4-5r-8R-2
而 4-5r-8R-2=2-5r+-8R+-2
(2R-5r)+8R(-)+-2>0
故此时不等式②成立。
若2R<5r时，用J.C.Gerretsen不等式6Rr-5,知要证不等式 ⑥，只要证明不等式
（6Rr-5）(2R-r)(4R+r)，
即 -4+23r-32R+40
即（2r-R)(2-15Rr+4)⑧
又 2-15Rr+4=（2R-5r)(2R-r)-Rr
易见，当2R<5r时，由Euler不等式R立，从而不等式②成立，结合以上两
种情况，知不等式②成立。
不等式①，②可以作为杨学枝老师在《中学数学》（湖北）1994年第2期的《介绍一个不等式链》
中的不等式链的一个推广。
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参考文献
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①D.S.Mitrinovic,J.E.Pecaric and V.Volenec,Recent Advances in Geometric,Inequalities Kluwer
Academic Publishers,1989.
②J.C.Gerretsen,Ongelijkheden in de Dnehoek,Nieuw Tijdschr.Wish.41(1953)
③C.Ciamberlini,Sulla Condizione Necessariae Suffinche Un Triangono Siacutangolo,Rettengone
Ottusangolo,Boll.Un.Mat.Ital.5(2) (1943).
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（数学家陈景润）
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本文作者简介：向本清老师出生于湖南武冈偏僻农村，在原转龙完小求学至高中而回乡修理地球（务农）快五年，在工厂当合同工两个多月，与方程、函数和微积分为伍四载（湖南师院），在湖南城步苗乡的三尺讲台上一站34年。
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（山径文学社肖殿群编辑）
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